固定投注还是凯利公式：应该选择哪种策略？

确定资金（Bankroll）之后，体育博彩中会出现一个非常重要的问题：

每一笔投注应该投入多少钱？

在专业的资金管理中，经常会使用两种主要方法：

固定投注（Flat Betting）

以及：

凯利公式（Kelly Criterion）

固定投注的原则非常简单：每一笔投注都使用相同的单位（Unit）。

凯利公式采用不同的逻辑：根据每一笔投注估算出的Edge来调整Stake。

乍看之下，凯利公式似乎更加复杂，因此也可能显得更加高效。

但实际情况并没有这么简单。

一种Stake Sizing方法是否有效，很大程度上取决于用于计算Stake的信息是否足够可靠。

本文将比较这两种方法，分析它们各自的优势、局限，以及分别适合什么样的情况。

与本系列之前的文章一样，我们继续使用以下基准：

初始资金：40,000 元

1U = 400 元

也就是：

初始资金的1%

什么是固定投注（Flat Betting）？

固定投注意味着每一笔投注都使用完全相同的Unit。

在我们的例子中：

资金：40,000 元

1U = 400 元

因此，每一笔投注都是：

400 元

无论某一笔投注看起来特别有吸引力，还是仅仅具有较小的优势，Stake都保持不变。

例如：

投注金额始终保持一致。

这种简单性正是固定投注最重要的优势之一。

什么是凯利公式（Kelly Criterion）？

凯利公式采用不同的方法。

它会根据估算出的Edge调整Stake。

经典公式为：

f = (bp - q) / b*

其中：

f* = 应投入资金的比例

b = 十进制赔率 - 1

p = 估算的获胜概率

q = 1 - p

估算出的Edge越大，Kelly建议的Stake就可能越高。

相反，当Edge下降时，Stake也会下降。

如果没有发现正Edge：

Kelly会建议不进行投注。

Flat Betting和Kelly最根本的区别

两种方法之间的区别并不仅仅在于Stake的大小。

真正的区别在于：

如何使用现有的信息。

Flat Betting的逻辑可以理解为：

“我认为这些投注具有足够的价值，但我并不认为自己能够非常精确地知道每一笔投注的具体Edge。”

Kelly的逻辑则是：

“我能够足够准确地估算每一笔投注的真实概率，因此可以根据Edge调整自己的风险敞口。”

这个区别非常重要。

Kelly需要更多的信息。

更重要的是：

它需要更加精确的信息。

40,000元资金的简单例子

假设我们发现了5个投注机会。

使用Flat Betting：

1U = 400 元

那么：

总风险敞口：

2,000 元

也就是：

资金的5%

使用Kelly时，Stake可能变成：

总风险敞口：

4,000 元

也就是：

资金的10%

Kelly会把更多资金分配给被认为更有价值的机会。

这可能非常有效。

但有一个重要前提：

对不同Edge的判断必须正确。

Flat Betting并不试图优化每一笔投注

这是一个非常重要的概念。

Flat Betting并不试图为每一笔投注计算数学意义上的最佳Stake。

它的目标不同。

Flat Betting主要追求：

简单

纪律

可比较性

风险控制

以及：

更加清晰地衡量投注选择本身的质量

因此，Flat Betting主动接受一个事实：

它可能无法充分利用不同投注之间潜在的Edge差异。

作为交换，它可以大幅降低对Edge估算精度的依赖。

Kelly试图利用Edge之间的差异

Kelly采用不同的逻辑。

并不是所有Value Bet都具有相同的价值。

假设有两笔投注的赔率都是：

2.00

第一笔投注的真实获胜概率估算为：

51%

第二笔为：

55%

第一笔投注的理论EV为：

+2%

第二笔为：

+10%

使用Flat Betting，我们可能会分别投注：

400 元

而Kelly则认为，在第二笔投注上投入更多资金可能更加合理。

从数学角度来看，这个逻辑是成立的。

但真正的问题是：

我们真的能够准确地区分51%的概率和55%的概率吗？

真正的问题并不是计算Kelly

Kelly公式本身并不复杂。

真正困难的是确定：

p

也就是：

事件的真实概率。

以赔率：

2.00

为例。

如果估算：

p = 51%

Full Kelly建议：

2%

如果：

p = 53%

Kelly建议：

6%

如果：

p = 55%

Kelly建议：

10%

仅仅4个百分点的概率差异，就会让Stake从：

2%

增加到：

10%

因此，真正的难点不是数学。

而是：

统计估算的准确性。

Flat Betting对估算错误更加稳健

假设我们认为某一笔投注具有非常大的Edge。

模型估算获胜概率：

55%

赔率：

2.00

Full Kelly会建议：

资金的10%

也就是：

4,000 元

但假设真实概率实际上只有：

51%

我们的Edge依然存在。

但是理论上正确的Kelly已经不再是10%。

而是：

2%

也就是：

800 元

由于概率估算错误，我们投注的金额会达到真实Edge所合理支持金额的5倍。

而如果使用1U的Flat Betting，我们只会投注：

400 元

因此，Flat Betting牺牲了一部分潜在的最优化能力，以换取对估算误差更强的抵抗能力。

Kelly奖励准确性

但是，这并不意味着Kelly只是一个更加危险的方法。

当使用的概率：

可靠

经过良好Calibration

具有可重复性

并且：

经过足够大的Sample Size验证

时，Kelly会变得非常有价值。

假设一个量化模型能够产生经过正确Calibration的概率。

在这种情况下，将：

1%的Edge

和：

8%的Edge

完全相同地处理，可能意味着没有充分利用优势。

Kelly可以让更多资金投入到估算Edge更大的机会中。

Probability Calibration的重要性

如果要严格使用Kelly，一个模型不能只是找到好的投注机会。

它还必须产生准确的概率。

这是非常重要的区别。

假设模型对1,000个事件都给出：

60%

的概率。

如果模型的Calibration是正确的，那么大约应该有：

600个事件

实际发生。

如果长期来看只有：

540个左右

发生，那么模型可能过度高估了自己的概率。

错误的Calibration在Kelly体系中尤其危险。

为什么？

因为一个过度自信的模型会自动产生：

过大的Stake。

Flat Betting与投注选择质量

Flat Betting的一大优势，是能够更加直接地观察投注选择本身的质量。

如果每一笔投注都是：

1U

那么结果主要取决于：

选择过程本身的质量

而不是调整Stake大小的能力。

这正是：

Flat Stakes Summary (1U)

背后的逻辑。

这个指标可以帮助我们比较不同策略，而不会因为Stake的变化掩盖策略本身的表现。

Selection Edge与Sizing Edge

分析使用可变Stake的策略时，可以将表现来源分为两部分。

Selection Edge

找到Expected Value为正的投注机会的能力。

Sizing Edge

当Edge确实更大时，能够投入更多资金的能力。

这是两种不同的能力。

一个投注者可能非常擅长发现Value Bet，但不一定擅长判断哪一笔投注的Edge更大。

在这种情况下，Flat Betting可能表现良好，而Kelly甚至可能让结果变差。

相反，如果一个模型能够准确估算Edge的大小，那么可变Stake Sizing就可能带来额外价值。

Kelly什么时候能够真正改善结果？

假设存在两个投注组。

A组

100笔投注

真实平均Edge：

+2%

B组

100笔投注

真实平均Edge：

+8%

如果两组都使用完全相同的Stake，我们就以同样的方式利用两个Edge。

但是，如果模型能够真正可靠地区分这种差异，那么在B组投入更多资金可能是合理的。

这正是Kelly能够产生额外价值的典型情况。

但最重要的词是：

真正

如果8%的Edge只是由于Overfitting而存在于Backtest中，那么提高Stake反而可能非常危险。

Sample Size的作用

假设一个策略：

80笔投注后ROI +12%

另一个策略：

5,000笔投注后ROI +4%

第一个策略看起来可能更加出色。

但我们真的能够得出结论，认为它的Edge是第二个策略的3倍吗？

不一定。

Sample Size会直接影响我们对Edge估算的不确定性。

这种不确定性也应该影响Stake Sizing的信心水平。

样本越小，就越难证明激进Kelly策略的合理性。

Overfitting的问题

Kelly和Overfitting可能形成一个非常危险的组合。

假设某个策略经过历史数据优化。

Backtest显示：

ROI +10%

模型因此认为存在很大的Edge。

Kelly随后建议较高的Stake。

但如果历史ROI的一部分来自Overfitting，那么未来的真实Edge可能要低得多。

这样就会同时出现两个错误：

Edge被高估

以及：

Stake过大

Flat Betting能够自然限制第二个问题造成的影响。

Flat Betting与Variance

Flat Betting当然不会消除Variance。

即使：

每笔投注 = 1U

我们仍然可能经历：

-5U

-10U

甚至更多。

连败完全可能发生。

但是，由于Stake保持固定，结果的分布更加容易理解。

每次失败代表：

-1U

每次获胜的收益则取决于赔率。

这使得策略的统计分析更加清晰。

Kelly与Variance

当Stake增加时，Kelly可能放大资金的波动。

假设使用Flat Betting时出现以下结果：

+1U

-1U

+1U

-1U

如果使用Kelly，相同的投注可能分别使用：

1U

4U

1.5U

3U

最终的财务结果可能完全不同。

投注选择本身的Variance会与：

Stake Sizing产生的Variance

结合在一起。

这增加了新的风险维度。

对Drawdown有什么影响？

使用Flat Betting时，Drawdown通常更加容易理解。

假设损失：

20U

因为1U = 初始资金的1%，所以这相当于：

8,000 元

的Drawdown。

使用Kelly时，Drawdown还取决于亏损投注所使用的Stake大小。

如果几笔被认为具有很高+EV的投注连续失败，Drawdown可能快速扩大。

因此，即使一个策略确实拥有Edge，Full Kelly也可能产生较大的Drawdown。

Flat Betting与Risk of Ruin

如果Unit相对于资金规模足够小，Flat Betting可以比较容易地控制Risk of Ruin。

在我们的例子中：

资金：40,000 元

Stake：400 元

1U = 1%

需要损失大量Units，才会完全耗尽资金。

当然，这并不意味着Risk of Ruin为零。

如果一个策略的Expected Value为负，并且持续使用足够长的时间，资金最终仍然会减少。

但是较小的Stake会减缓资金恶化速度，并为发现问题提供更多时间。

Kelly与Risk of Ruin

在理论框架中，Kelly本身就是为了在最大化资金长期对数增长的同时避免Overbetting。

实际问题再次来自不确定性。

使用：

真实概率

计算出的最佳Kelly，并不一定等于使用：

我们估算的概率

计算出的Kelly。

概率估算越不准确，Stake就越可能偏离真实Edge所合理支持的水平。

Flat Betting更容易保持纪律

Flat Betting在行为层面也具有重要优势。

在开始之前，规则已经确定：

每笔投注 = 1U

因此不需要做出类似这样的情绪化决定：

“这一笔值得2U。”

“我非常有信心，所以投注4U。”

“前两笔都输了，这一笔一定要赢回来。”

Stake的确定与情绪无关。

这有助于降低：

Chasing

Overconfidence

以及：

Recency Bias

带来的风险。

Kelly并不意味着“根据自信程度投注”

这是一个常见误解。

说：

“我对这笔投注非常有信心，所以投注5U。”

并不是Kelly。

Kelly需要定量估算。

例如：

估算概率：54%

赔率：2.00

计算出的Edge

计算出的Kelly Stake

如果没有明确且足够可靠的概率估算，就不能真正称为Kelly。

那只是主观的可变Stake。

主观可变Stake可能是最差的折中方案

实际上，在Flat Betting和Kelly之间还存在第三种情况：

根据感觉改变Stake。

例如：

普通机会 = 1U

不错的机会 = 2U

非常有信心 = 3U

这种方式可能具有Kelly的一些缺点，却没有Kelly的数学严谨性。

它增加Stake Sizing的Variance，同时也给行为偏差留下了很大空间。

如果要合理使用可变Stake，理想情况下应该建立在：

可测量

并且：

可重复

的方法之上。

Half Kelly：一种折中方案

我们并不一定只能在：

Flat Betting

和：

Full Kelly

之间二选一。

一种中间方案是：

Half Kelly

如果Full Kelly建议：

6%

Half Kelly则使用：

3%

如果Full Kelly建议：

2%

Half Kelly则使用：

1%

这种方法保留了部分根据Edge调整Stake的能力，同时降低了风险敞口。

Quarter Kelly：更加保守的方法

Quarter Kelly使用：

Full Kelly的25%

如果Full Kelly建议：

8%

Quarter Kelly就是：

2%

对于40,000元的资金：

800 元

也就是：

2U

当拥有概率模型，但对其估算仍存在一定不确定性时，这种方法可能尤其有价值。

设置Stake Cap的Kelly

另一种方法是在使用Kelly的同时设置最大Stake。

例如：

最大Stake = 资金的2%

在我们的例子中：

2% = 800 元 = 2U

如果Kelly建议：

0.8%

就使用：

0.8%

如果建议：

1.5%

就使用：

1.5%

如果建议：

4%

则限制为：

2%

这样既可以保留部分Kelly逻辑，又能够控制极端估算带来的风险。

不同方法的比较

假设资金为：

40,000 元

某一笔投注的理论Full Kelly为：

8%

那么：

不同方法之间的风险敞口差异非常明显。

Stake Sizing系统的选择可能彻底改变一个策略的风险特征。

哪种方法更适合比较Tipster？

如果想比较不同Tipster或策略本身的质量，Flat Betting具有一个重要优势。

假设：

Tipster A：+20U

Tipster B：+25U

如果所有投注都按照：

1U

计算，那么比较相对清晰。

但是，如果Tipster B使用：

1U到8U

之间的可变Stake，比较就会变得更加复杂。

部分表现差异可能来自Stake Sizing，而不是投注选择本身的质量。

因此：

Flat Stakes Summary (1U)

是比较表现时非常重要的指标。

Flat Betting并不意味着所有投注拥有相同Edge

这是一个非常重要的区别。

所有投注都使用1U，并不意味着认为每一笔投注都拥有完全相同的Edge。

它也可能意味着：

“我认为自己对不同Edge的估算还没有精确到足以支持不同Stake的程度。”

这是完全合理的风险管理思路。

承认不确定性本身就是Risk Management的重要组成部分。

Kelly并不一定意味着承担更大的风险

Kelly也可能建议低于1U的Stake。

假设：

1U = 1%

Kelly计算结果为：

0.4%

那么Stake就是：

0.4U

也就是：

160 元

因此，当估算Edge较小时，Kelly也可以降低风险敞口。

Kelly本身并不是一种必然激进的方法。

真正容易产生较大Stake的主要是：

Full Kelly与较大或被高估的Edge结合

的情况。

赔率的作用

赔率也会影响比较。

赔率：

1.50

和：

4.00

的投注并不具有相同的Variance特征。

Flat Betting可以在两笔投注上使用相同的Unit。

Kelly则通过公式间接考虑这种差异。

但再次强调，最终计算仍然依赖概率估算的质量。

在高赔率投注中错误估算概率可能产生很大的影响。

CLV的作用

CLV可以作为评估整个投注过程质量的辅助指标。

假设一个策略使用Kelly，并经常对某些投注分配较大的Stake。

如果这些投注长期出现负CLV，就值得检查模型是否高估了这些投注的Edge。

相反，如果能够持续获得正CLV，这可能是所获得赔率质量的一个有价值的信号。

但是CLV并不能直接告诉我们：

准确的真实概率

因此，仅依靠CLV并不足以计算Kelly。

Opening Odds与Closing Odds

分析Opening Odds和Closing Odds同样可以帮助理解一个策略的特征。

某些策略可能特别擅长在市场早期发现Value。

另一些策略可能在更晚阶段发现机会。

比较投注时的赔率和Closing Odds，可以观察策略是否能够长期获得优于市场最终价格的赔率。

对于Kelly策略来说，这类信息尤其有助于检验估算Edge的可信度。

Liquidity的作用

Liquidity也可能限制Kelly在实际中的应用。

假设一个模型在较大的资金规模上建议：

5%的Stake

理论金额可能超过在当前赔率下实际能够下注的金额。

因此：

理论上的最佳Stake

不一定等于：

实际能够执行的Stake。

Risk Management还需要考虑：

市场深度

以及：

实际执行能力。

同时存在多笔投注时，Flat Betting更加简单

假设同时出现10个投注机会。

使用Flat Betting：

每笔 = 1U

最大风险敞口可以立即看到：

10U

也就是：

初始资金的10%

前提是所有投注同时处于未结算状态。

使用Kelly时，则需要把所有Stake相加。

如果建议分别为：

1% + 2% + 4% + 1.5% + 3% + 2% + 5%...

总风险敞口可能迅速增加。

因此，不能只从单笔投注角度思考。

还必须从：

整体投资组合

的角度管理风险。

相关性让Kelly更加复杂

假设多笔投注都与以下因素有关：

同一个联赛

同一支球队

同一种市场

或者：

同一个模型

这些投注之间可能存在相关性。

如果对每一笔投注独立使用Kelly，可能会低估整体风险。

Flat Betting当然也无法消除相关性。

但由于Stake固定且通常受到限制，风险敞口更加容易管理。

初学者更适合哪种方法？

对于刚开始认真管理资金的人来说，Flat Betting具有多项学习上的优势。

它可以帮助理解：

ROI

Variance

Drawdown

Sample Size

CLV

以及：

Risk of Ruin

而无需立即加入可变Stake Sizing带来的复杂性。

最重要的是，它能够帮助回答一个根本问题：

“我的投注选择方法真的存在Edge吗？”

在尝试优化Stake之前，首先确认Edge是否真正存在，是更加合理的步骤。

高级量化模型更适合哪种方法？

对于能够产生以下信息的量化方法，情况可能不同：

概率

不确定性区间

经过验证的Calibration

大量历史数据

以及：

稳健的Out-of-Sample分析

在这种情况下，Kelly或Fractional Kelly可能变得更加有价值。

Stake Sizing可以成为概率模型的自然延伸。

Flat Betting可以作为Benchmark

即使一个策略使用Kelly，保留Flat Betting作为参考基准也非常有价值。

我们可以比较：

使用Kelly后的实际表现

以及：

Flat Stakes Summary (1U)的表现

这样可以回答一个非常重要的问题：

Stake Sizing真的改善了策略吗？

如果Kelly提高了收益，但同时大幅增加了Drawdown，那么结论并不一定简单。

我们需要分析：

Return / Risk

而不仅仅是最终利润。

如何正确比较Flat Betting和Kelly？

严格的比较应该尽可能使用完全相同的投注选择。

然后比较：

因此，真正的问题不应该只是：

“哪种方法赚得更多？”

而应该是：

“考虑到我的估算质量，哪种方法能够提供更合适的收益与风险结构？”

可以采用混合策略吗？

可以。

严格的Flat Betting和Full Kelly之间存在很多选择。

例如：

Flat Betting 1U

最高限制为2U的Kelly

Half Kelly

Quarter Kelly

或者：

Fractional Kelly + Stake Cap

也可以采用分级Stake。

例如：

低Edge = 0.5U

中等Edge = 1U

高Edge = 1.5U

但是，只有当Edge分类具有客观标准并经过统计验证时，这种方法才真正合理。

否则，它可能重新变成基于个人信心的主观Stake系统。

什么情况下Flat Betting可能更适合？

Flat Betting可能特别适合以下情况：

• Edge似乎存在，但很难准确测量其大小；
• 概率还没有得到充分Calibration；
• Sample Size仍然有限；
• 希望清晰比较不同策略；
• 重视简单性；
• 希望降低Stake Sizing错误的影响；
• 希望减少情绪偏差；
• 希望首先分析投注选择本身的质量。

在这些情况下，Flat Betting的简单性是一种真正的优势。

什么情况下Kelly更加有价值？

Kelly在以下条件下会更加有意义：

• 拥有可靠的概率；
• Probability Calibration已经得到验证；
• 模型拥有足够大的Sample Size；
• Edge可以通过可重复的方法测量；
• 模型经过Out-of-Sample测试；
• 理解潜在Drawdown；
• 能够控制投注之间的相关性；
• 持续监控总风险敞口；
• Liquidity允许实际执行Stake；
• 已经设定明确的风险限制。

在这些条件下，根据Edge调整Stake可能是合理的。

应该避免的错误

无论使用Flat Betting还是Kelly，都应该避免以下错误：

1. 在没有可证明Edge的情况下投注。
2. 亏损后提高Stake。
3. 把个人信心与概率混为一谈。
4. 根据较小的Sample Size高估Edge。
5. 忽视Variance。
6. 忽视Drawdown。
7. 忽视投注之间的相关性。
8. 因为短期结果不断改变方法。
9. 使用Calibration较差的概率进行Kelly计算。
10. 仅凭感觉使用可变Stake。
11. 只根据Profit评价策略。
12. 不与Flat Stakes Summary (1U)进行比较。

Flat Betting还是Kelly：真正应该问的问题

最终，真正的问题并不是：

“哪种方法更加复杂？”

也不是：

“哪种方法能够产生最高收益？”

真正应该问的是：

“我用于决定Stake的信息质量到底有多高？”

如果我们只知道某一笔投注似乎具有正Expected Value，却无法准确测量它的Edge：

Flat Betting能够提供一个非常稳健的框架。

如果我们拥有一个能够产生可靠、经过Calibration并充分验证的概率模型：

Kelly可以进一步优化Stake。

而在两者之间，还可以使用Fractional Kelly和Stake Cap来控制风险。

结论

Flat Betting和Kelly并不仅仅是两种互相竞争的Stake Sizing方法。

它们实际上对应着：

两个不同的信息精度水平。

Flat Betting的逻辑是：

“我发现了一个机会，但在决定Stake时，我主动限制Edge估算的重要性。”

Kelly的逻辑是：

“我认为自己的Edge估算足够精确，因此可以利用它在数学上决定风险敞口。”

以本文的基准：

资金40,000元

以及：

1U = 400元 = 1%

来看，Flat Betting提供了一个简单而透明的结构，尤其适合分析投注选择本身的真实质量。

Kelly则可以根据Edge调整Stake，进一步优化资金配置。

但是，这种更高程度的优化有一个重要代价：

它需要更加准确的概率估算。

因此，最适合的Stake Sizing方法并不只是由所使用的公式决定。

它主要取决于：

数据质量

模型可靠性

Probability Calibration

Sample Size

Variance

Drawdown

以及：

真正测量Edge的能力

在尝试优化每一元资金的投入之前，我们首先应该回答一个更加根本的问题：

“我真的足够准确地知道自己的Edge，从而有理由改变Stake吗？”

如果答案仍然存在不确定性，那么Flat Betting的简单性可能不是缺点。

反而可能是：

一种优势。

FAQ：Flat Betting还是Kelly？

什么是Flat Betting？

Flat Betting是指每一笔投注都使用相同的Stake，例如每个选择固定使用1U。

Flat Betting与Kelly最大的区别是什么？

Kelly会根据估算概率和Edge调整Stake，而Flat Betting始终使用固定Stake。

Kelly一定比Flat Betting更赚钱吗？

不一定。Kelly可以更充分地利用真实存在的Edge差异，但其效果高度依赖概率估算的准确性。

为什么Flat Betting更加简单？

因为它不需要精确估算每一笔投注的Edge来决定Stake。

可以使用Half Kelly或Quarter Kelly吗？

可以。Half Kelly使用Full Kelly的50%，Quarter Kelly使用25%。这样可以降低概率估算错误带来的风险。

可以给Kelly设置上限吗？

可以。例如设置Stake Cap，即使Kelly建议更高的Stake，也可以将单笔投注限制在资金的2%。

Flat Betting是否意味着所有投注都有相同的Edge？

不是。它只意味着使用相同的Stake。原因可能是Edge之间的差异还无法被足够精确地测量，从而无法证明使用不同Stake的合理性。

比较Tipster时哪种方法更适合？

Flat Stakes Summary (1U)尤其有用，因为所有投注都可以按照相同的Unit重新计算。

没有概率模型可以使用Kelly吗？

严格应用会比较困难，因为Kelly需要明确估算真实概率。

应该选择Flat Betting还是Kelly？

主要取决于是否能够准确估算并Calibration概率。Flat Betting降低了对这些估算的依赖，而当Edge能够被足够可靠地测量时，Kelly可以根据Edge调整Stake。